Google+上，麦吉尔大学的计算机科学家Artem Kaznatcheev上传了一份关于数学学习的文章，该文作者署名“man after midnight”，其主要内容如下：
高中时我被告知，整个数学生涯按照“水平”被划分成若干个阶段。
在某个阶段，你会发现自己进展缓慢，只是在默默地积累着一些数学工具和思想。突然有一天，借助积累的这些，你完成了许多以前难以完成的新工作。即使你以前耗费大把时间学习了一些本身无用的知识，但是此时此刻这些已经不再重要，一个充满可能的全新时代正要到来。只要你愿意，你将进入一个更高的级别。你可能已经习惯旧的，但是现在要有新的挑战了，也正是现在，你以前几乎很少思考的东西正变得极为重要！
当你和水平比你高一级的人聊天时，这种现象尤为明显。对于同样一件事，当你费尽心力去搞明白它的时候，这些人却能够马上知晓其中的要义。这些人是你学习的好榜样，因为他们刚刚从你正要走的路上走过，因此从你的角度来说，他们的经验仍然实用（你可以取其精华，少走弯路）。
和比你高两个水平的人聊天，那就是另外一码事了。他们经常会把你说得云里雾里的，他们所谈的内容你基本很少涉猎。如果你没有被这种聊天打击，你仍然可以从这些人身上学到东西，但是他们教给你的东西往往比较抽象，你甚至会觉得他们帮不到你—但是出于某些原因，他们是有帮助的。
和比你高三个水平及其以上的人聊天，那就真的是“鸡同鸭讲”了。和比你高两个水平的人相比，和这些人聊天的内容你不会记得非常清楚，因为在他们所思考的事情，大部分已经完全超出你所关注的领域了。从你的角度来说，你已经无法理解他们的所思所想，以及他们为什么思考这些问题。你可能认为自己可以理解，但这也仅仅是因为这些人知道如何把一个故事讲得浅显精彩而已。这其中的每一个故事都包含很多学问，只要肯花足够多的时间思考，你肯定会受益良多。
通过以上所述，对于典型的数学博士之路，我有了一个大致看法，虽然这个看法比较主观，让数学的学习过程看起来过于线性、直接，但我相信它是可以被试验证明是有效的。
设想一个人初次掌握了初等代数后的改变，我们说这就是数学学习中的初始水平。这个水平的学生能够对代数计算得心应手，并且具备了使用变量的思想。
下一次水平的提升可能在第一堂微积分课程中达到。此时，学生搞懂了无穷小、点的斜率等概念，并且能够推导面积公式、物体运动公式以及各种优化公式。
许多学生达到这一水平后就止步不前了，认为自己已经把数学学完了、学透了。但是，那些对数学孜孜以求的学生会用他们现在掌握的数学工具，完成多变量积分和基本的线性代数课程。他们要在抽象代数的课程中苦苦挣扎，并要一次一次地重塑思维过程，才能奢求以一个C通过考试，然而就在这个过程当中，他们在数学道路上达到了另一个境界。
一旦完成了上面这些课程，本科阶段剩下的课程就基本难不倒你了。但是在研究生阶段又是另外一番光景。读研的第一年，你的水平会提高一个层级，第三年会提高到另一个层级。这时你会惊恐地发现，毕业之前还有一个层级等着你去提高，这个层级是你整个研究生阶段最难搞定的一个，因为它首次对你的独立思考能力做出了要求。
我也不知道这之后会有几个水平的提高等着这些毕业生去完成。至少三个吧。
好了，这就是数学进阶之路。你的奋斗将永无止境，你永远看不到自己完美的那一天，你甚至难以解释你当前所经历的事情。但是数学的世界是丰富多彩、令人兴奋的，你那任何漫无边际的美梦都不及数学精彩。数学会让你体会经过抽丝剥茧、深入研究而发现世界真相的乐趣。
正如作者所言，讨论“水平”显得过于线性。你可以在代数几何上优于你同学，而在概率论上有所不及。在代数几何这个单一领域，你可能在层上同调优于同学，但对于椭圆曲线等一些传统数学命题的研究却不及你同学。
当两个各有所专长的人聊天时，一种比较好的聊天模式是你们一人扮演老师的角色，另一个人扮演学生的角色。扮演老师可使人提升自我，学会组织自己的思路；扮演学生可以学到知识，并使人更加谦逊。好的学生甚至能够让老师以全新的角度去思考问题。
然后老师和学生角色互换，这可以保持两人聊天时的一种平衡。当某个聊天主题需要结合两个人的知识才能理解的时候，这种老师学生—角色互换的聊天模式会更加有意思。
我感觉优秀的数学家花了相当多的时间玩这样的游戏—我们经常听说的一些著名数学团体如Atiyah、Bott和Singer，甚至一些更大的团体，如法国的Borubaki。我也曾和James Dolan玩师生游戏差不多十年，那十年是我们成果颇丰的十年。我现在也亟需寻找一位合作伙伴共同研究我当前正在研究的数学领域。如果你想快速地自我提升到某一个水平，“独行侠”式的学习方式会成为你极大阻碍。
综上，对于一个问题，如果我们能够报以更加认真的态度，并且能够花更多时间讨论，那么我们就很有可能更快更好地理解问题了。
在我针对原文发表了以上评论之后，一位来自班加罗尔的材料科学的专家，T.A. Abinandanan ，发现了一篇针对游泳界中卓越的研究：Daniel Chambliss 的《平凡的卓越》。
Daniel 强调游泳界中对于“卓越”的定义很是丰富，这主要因为存在着不同类型的游泳比赛，而每一种赛都有其特定的评价标准。下文列出了Daniel一些其他主要观点：
1）首先，卓越来自于动作上的质变，而不仅仅是量变。对于游泳来说，训练好坏的评价标准，并不在于你是否投入了更多的训练时间，或者你摆臂速度的快慢！低级别的蛙泳运动员的训练方式和顶级的蛙泳运动员有很大不同。手臂动作上，低级的蛙泳运动员总是试图过早地把手臂拉于身下；在腿部动作上，他们的蹬腿幅度过大，并且蹬腿结束后没有做到两腿并拢；转身后，他们过早地让自己浮出水面，而没有在水下潜泳一段时间。相反，高级的蛙泳运动会保持把双臂划到体侧，然后收手进行下一次手臂动作；在腿部动作上，他们蹬腿时两腿分开幅度小，并在结束时并拢两腿；转身时他们会潜泳相当长的距离。他们的动作完全不同。
2）游泳运动中存在着不同的分类，每一个类别都有其定义卓越的标准。在每个单一类别中，你可以通过努力训练提升自己的水平，当然如果懈怠了，水平就会下降。但是如果想使自身达到一个较高的高度，那么就需要花些功夫了，具体可以参考上述第一点。
3）卓越的游泳技能并不是不合群性格的产物。最好的游泳运动员既不是古怪之人也不是独行侠——没有正常青少年生活的小孩。
4）成就卓越的并不是运动员内在神秘的特异功能，而是领悟到了正确的学习方法。
5）最好的游泳健将是更加严于律己的。他们会严格对待自己的训练，准时到达训练场所，注意饮食起居，并在比赛之前做好了适当的热身，等等。
6）低级运动员感觉无聊的一些方面，优秀运动员往往甘之如饴。其他人会觉得游泳是一项无聊的运动—沿着池底的黑线来来回回地一圈两圈、一小时两小时，但那些优秀的运动员却可以在这种无聊的重复性运动中找到平静，游泳甚至成了一种冥思，挑战，甚至是疗伤的方式。他们享受着高强度的训练，期待着艰苦的比赛，并尝试着为自己设定更高的目标。
7）最优秀的游泳运动员并不会花费很多时间幻想成为奥林匹克冠军。他们会专注于一些“小成功”：虽然这些小的成就很容易取得，但是会产生实实在在的效果。
8）最好的游泳运动员面对大场面时并不会犯怵。当面对一个巨大的挑战或者不寻常的赛事的时候，他们认为这些和平常的情况没有什么不同。他们通常会把这些大型赛事整合到当前的训练、参赛计划中，而并不为它们制定特殊的计划。Chamblis认为这就是“平凡的卓越”。
针对这篇论文，我已经解释了很多。整件事是很值得一读！但是，我仍然很好奇这些经验能否应用于其他的领域。作者给了一个应用于数学家的例子：
在学术界中，我身边有许多难以保持平常心的例子：无力完成博士论文，为了写出代表作的无望挣扎。12年前，一进入大学的校门，我就被介绍给了一名很优秀的学生，我们姑且叫他迈克尔。迈克尔非常聪明，教授们对他都评价很高，他勤奋用功，声称（实际上也是）每天至少12个小时用于科研。一些高级学者总能在其手稿找到迈克尔的评论，他们也不乏对迈克尔的溢美之词。所有这些都表明迈克尔有着辉煌的履历。然而，七年后，当我毕业时，迈克尔依旧是默默地工作12小时，少了些许赞美。据最新消息，他仍旧在努力奋斗，在公共表达式研究领域奋斗不懈！
从我们的角度来说，迈克尔并没有保持淡定从容。他从不认为写论文只是一件很普通的工作，不承认论文只不过是一个人写给另一些人读的文字。他甚至还不明白，从某个角度讲大学中的考试、测验（论文要求就是其中之一）实际上是为了考察学生愿不愿意回馈一些令人作呕的东西。
